Mauritanija

Dobrodošli na moj blog

13.04.2007.

Četverougao

Četverougao je centralno simetričan sa centrom simetrije u tački O (presjek dijagonala AC i BD). U ovom slučaju suprotni vrhovi A i C ; B i D su centralno simetrični u odnosu na tačku O.

Iz ovog proizlazi da je tačka O centar duži AC i BD. Vrijedi i obrnuto. Ako dijagonale AC i BD četverougla ABCD imaju zajedničku središte onda su A i C ; B i D centralno simetrični parovi tačaka prema tački O . Četverougao ABCD preslikava se u četverougao CDAB, tj na samog sebe. To znači da je tačka O centar simetrije tog četverougla. Da bi četverougao bio centralno simetričan potrebno je i dovoljno da dijagonale imaju zajedničko središte, koje je njihov centar simetrije Iz osobine centralno simetričnih figura da su suprotne stranice paralelne i jednake proizlazi da je to paralelogram.

Teorema 1

  • Centralno simetričan četverougao ima ove osobine
  • Dijagonale mu se polove
  • Naspramne stranice su mu paralelne ( on je paralelogram)
  • Naspramne stranice su mu jednake
  • Naspramni uglovi su mu jednaki
  • Susjedni uglovi su suplementni.

Podjela četverouglova

  1. trapez
  2. paralelogram
  3. pravougaonik
  4. kvadrat
  5. romb
13.04.2007.

Pravougaonik

 

Pravougaonik je četverougao, koji pripada paralelogramima. Ima četiri prava ugla. Naspramne stranice su uvijek jednake dužine, kao i dijagonale.

Definicija

Paralelogram čiji su svi uglovi jednaki zove se pravougaonik.

Teorema
  1. Pravougaonik ima dvije osi simetrije koje prolaze kroz njihov centar sinetrije paralelne su njegovim stranicama i međusobno normalne.
  2. Dijagonale pravougaonika su jednake. Njihov presjek je centar opisane kružnice.


Ako su mu sve stranice jednake dužine, onda je riječ o kvadratu. Dužina dužih stranica se definiše kao dužina cijelog pravougaonika, a dužina kraćih kao širina pravougaonika.

Površina pravougaonika iznosi P = a\cdot \;b

Obim O = 2(a+b)

Dijagonala d = \sqrt{a^2+b^2}

r (radijus upisane kružnice): r = \frac{a}{2}

13.04.2007.

Kompleksni brojevi

 

Posmatrajmo jednačinu x2-1 =0. Ona ima  dva rješenja u skupu , x =1 i x=-1, dok slična jednadžba x2+1 =0 nema niti jedno rješenje. Stoga se imaginarna jedinica definisana  tako što su x =i i x = -i rješenja jednadžbe x2+1 =0. Iz ove definicije slijedi

i2=-1; i3= -i ;i4 = -ix i = -(-1)=1......

Definicija 1

Skup kompleksnih brojeva je skup svih brojeva oblika z =x + iy, gdje su x,y iz R. Posebno je 0 = 0+ 0i . Realni broj je realni dio kompleksnog broja , a realni broj y =Imz  imaginarni dio kompleksnog broja . Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi. Konjugirano kompleksni broj broja z =x + iy je broj z =x - iy. Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja je nenegativni realni broj

 

.

 


10.04.2007.

Omjer dijagonale i stranice kvadrata

 

Za dvije istovrsne geometrijske veličine, npr. dužine, kažemo da su proporcionalne ako se njihov omjer može izraziti kao omjer prirodnih brojeva. Znamo  da je omjer dijagonale D i stranice a kvadrata jednak kvadratnom korijenu iz 2, koji je iracionalan broj.

 Ta činjenica očigledno je u suprotnosti s osnovnim vjerovanjem pitagorejaca da je sve opisivo pomoću prirodnih brojeva. Danas je uobičajeni dokaz iracionalnosti kvadratnog korijena iz 2 u osnovi pitagorejski, samo što oni nisu posjedovali simbolički zapis, a svoj dokaz temelje na kombinaciji geometrije i teorije parnih i neparnih brojeva. Promotrimo li sliku gore lijevo, koja se sastoji od tri kvadrata, vidimo:

  • ako je stranica srednjeg kvadrataproporcionalna  dijagonali, one imaju omjer kao dva prirodna broja n i m (tj. stranica je oblika nd, a dijagonala oblika md za neku dužinu d);
  • kad bi oba broja m i n bila parna, umjesto d možemo uzeti 2d pa pretpostavimo da nisu oba parna;
  • površina velikog kvadrata dvostruka je površina srednjeg, dakle m2d2=2n2d2, iz čega slijedi da je m paran jer je paran kvadratni broj četverostruki kvadratni (drugim riječima: ako je N2 paran, onda je N paran);
  • slijedi da je md=2kd za neki prirodan broj k;
  • površina srednjeg kvadrata dvostruka je površina malog, pa je n2d2=2k2d2, iz čega kao gore slijedi da je i n paran;
ispada da smo dobili kontradikciju s pretpostavkom, dakle nije istina da su stranica i dijagonala kvadrata proporcionalni
09.04.2007.

Čovjek

 

Čovjek ili ljudsko biće (mn. ljudi ili ljudska bića) definiše se na biološki, sociološki i duhovni način.

Kao riječ i izraz, "čovjek" je historijski, vjerski i kulturno uvriježena riječ koja se koristi u smislu označavanja ljudske vrste općenito, tj. pokrivajući sve rodove i polove: muškarce, žene, djecu, transseksualce, itd. U nedostatku boljeg neutralnog izraza, riječ čovjek se koristi kao prevod latinske riječi homo koja označava "osobu." Slično stanje je i u mnogim drugim jezicima, kao na primjer, u engleskom, gdje se riječ man, doslovno "muškarac," često, mada ne uvijek, koristi u smislu ljudskog bića, pa prema tome uključuje i seksualne polove koji nisu muški, kao na primjer žene.

Biološki, čovjek se klasifikuje kao vrsta homo sapiens (na latinskom, "mudri čovjek" ili "misleći čovjek"), iz roda homo (na latinskom, "čovjek"); homo sapiens je dvonogi primat iz natporodice hominoidea, u koju spadaju ostali čovjekoliki majmuni: čimpanze, gorile, orangutani i giboni.

Čovjek ima uspravno tijelo, koje mu oslobađa gornje udove za baratanje predmetima, i veoma razvijeni mozak, koji je u stanju da vrši apstraktno mišljenje, govor, jezik i introspekciju. Čini se da se dvonogo kretanje evolutivno razvilo prije encefalizacije, tj. razvoja velikog mozga. Istraživanje o porijeklu dvonogog hoda i njegove uloge u evoluciji ljudskog mozga je još uvijek u toku.

Sociološki, čovjek je suštinski društveno biće, kao i većina primata. Ljudska bića stvaraju složene društvene strukture koje sačinjavaju saradničke (kooperativne) ili takmičarske (kompetitivne) grupe. U ove spadaju grupe u rasponu od nacije i države pa sve do porodice.

Duhovno, vjerski i kulturno, ljudska bića stvaraju i obogaćuju svoje unutrašnje i vanjske svjetove putem traganja za razumijevanjem, upotrebom i manipulisanjem nauke i tehnologije, religije i mitologije, običaja i rituala, estetskih i društvenih vrijednosti i normi - jednom riječju, duhovnih i kulturnih aktivnosti.


Ljudi i čovjek u srednjem vijeku (Homo, homines) označavaju vazala. Doslovno: Moji ljudie, moj človik u izvorima u srednjovjekovnoj Bosni. Radi se o prenesenom značenju za izraz vazal. Kasnije, pa i danas izraz čovjek i ljudi vezuje se uz određeno svojstvo u modernijem prenesenom značenju. To je moj čovjek (taj radi za mene i sl.).

 

09.04.2007.

Sudovi

 

Sud je misao kojom se nešto tvrdi ili poriće.

Primjer :

Čovjek je smrtan.

Svaki sud se izražva rečenicom i s obzirom na to da li se njime nešto tvrdi ili poriče. On može biti istinit ili neistinit, odnosno može imati samo jednu od dvije moguće istinosne vrijednosti. Postavlja se pitanje razlike između suđenja i suda. Suđenje je psihički proces, a sud oblik misli. Neki [[logika|logičari] uzimaju značenje „stav“, a drugi opet „iskaz“, dok sve to označavaju sa sud. U logici su nastale različite teorije o strukturi i biti suda.

  •  

 Vrste sudova

  1. Predikaciona teorija – ova teorija kaže da svaki sud sadrži 2 dva pojma od kojih jedan nazivamo subjektom, a drugi predikatom.Npr. Čovjek je smrtan. (S je P).
  2. Relaciona teorija Npr. Ljubav je jača od mržnje.Ovdje je riječ o relaciji između dva člana.(a R b)
  3. Egzistencijalna teorija

U svakom sudu imamo samo jedan pojam (subjekt). Sud je priznavanje ili poricanje onoga što se tim pojmom misli.Npr. Svijet postoji. Ne može se odrediti obavezna forma za sve sudove ili struktura, zato što ona ne postoji. Teorije o strukturi sudova nas upoznavaju sa osnovnim tipovima ili vrstama strukture suda.

 Podjela sudova

Ranije se smatralo da svi sudovi imaju predikativnu formu. Predikacioni sudovi se dijele po kvantitetu, kvalitetu, modalitetu i relaciji. Prve tri podjele je uveo još Aristotel, a četvrtu podjelu, po relaciji Aristotelov učenik Teofrast.

 Sudovi po kvantitetu

Primjer:

Svi profesori su rastreseni.

Ovakve sudove nazivamo opštim ili univerzalnim.

Primjer:

Neki romani su dosadni.

U ovom sudu je riječ samo o dijelu obima pojma subjekta i takve sudove nazivamo posebnim ili partikularnim.

S obzirom na to da li je u sudu riječ o čitavom obimu ili o dijelu obima subjekta, sve sudove dijelimo na univerzalne i partikularne

Sudovi po kvalitetu

Primjer:

Svi ljudi su sretni.

Ovim sudom nešto tvrdimo .Nazivamo ih afirmativnim. Prepoznajemo ih po afirmativnoj kapuli „je“/“jesu“.

Primjer:

Neki ljudi nisu pošteni.

Ovim sudom nešto negiramo i nazivamo ih negativnim Prepoznajemo ih po negativnoj kapuli. Budući da se svakim sudom nešto tvrdi ili negira, svaki sud može biti afirmativan ili negativan i tu podjelu nazivamo podjelom po kvalitetu.

Kombinovana podjela po kvantitetu ili kvalitetu

S obzirom na ovu podjelu, možemo razlikovati slijedeće sudove:

  1. Univerzalno-afirmativni – svi S su P
  2. Partikularno-afirmativni – neki S su P
  3. Univerzalno-negativni nijedan S nije P
  4. Partikularno-negativni neki S nisu P

 

Sudovi po modalitetu

Primjer:

Selimović je možda najpopularniji pisac.

Kiša je vjerovatno padala.

U ovim sudovima riječi „možda“ i „vjerovatno“ imaju sličnu funkciju. One upozoravaju da je moguće da su subjekat i predikat povezani kako se tvrdi, ali to nije sigurno. Takve sudove nazivamo problematičnim.

Primjer:

Sve živo mora umrijeti.

Željezo nužno tone.

U ovim sudovima riječi „mora“ i „nužno“ imaju sličnu funkciju. Oni kažu da je odnos subjekta i predikata nužno onakav kako se sudom tvrdi. Nazivamo apodiktičnim. Sudove u kojima nema riježi „mora“, „možda“ ili „vjerovatno“, a njima se ipak nešto tvrdi, nazivamo asertorični.

Primjer:

Čovjek je smrtan.

Sudovi po relaciji

Sudove u kojima odnos između subjekta i predikata nije ničim uslovljen nazivamo kategoričnim i njihova opšta forma je S P. Sudove u kojima je odnos između subjekta i prediakata nečim uslovljen, nazivamo hipotetičnim.

Primjer:

Ako kiša pada, ulice su vlažne.

Ako je A B, onda je C D.

On je lud ili genijalan.

ili

Dubrovnik ili Opatija nalaze se u Istri.

Ovakve sudove nazivamo disjunktnim.

S je P1 ili P2

S1 ili S2 je P

 

 Podjela sudova po složenosti

Sudove u kojima imamo samo pojmove i koji se mogu rastaviti samo na pojmove nazivamo jednostavnim .

Sudove koji kao dijelove imaju jednostavne sudove nazivamo složenim.

06.04.2007.

Matematička logika

Matematička logika zasniva se na na zakonima matematičkog aparata i koristi se matematičkim metodama. Predmet matematičke logike je dokaz.

Posmatrajmo rečenice

4 je paran broj (istinita)

Triglav je viši od Monblana (neistinita)

Za ove rečenice možemo reći da li su istinite ili neistinite Za rečenice kao što su

x<4

Donesi vode

ne možemo utvrditi istinitost

Nauka koja se bavi proučavanjem oblika mišljenja i vezama između tih oblika je logika. Logičko mišljenje je sam proces mišljenja. Za Z-skup cijelih brojeva vrijedi

(a<b & b<c) =>a<c

U logici je bitna forma, a ne sadržaj;

Čovjek je smrtan i Šekspir je smrtan znači Šekspir je čovjek

Ako je svaki kamen crven i ako je čovjek kamen znaći čovjek je crven

 

06.04.2007.

Elementi matematičke logike

 

Predmet matematičke logike je dokaz. Matematika je strogo deduktivna nauka. To znači da se u njoj sestavovi izvode iz osnovnih stavova.

Konstante i promjenljive

1,3,kvadrat stranice 4 cm su konstante. One određuju određen objekat. x, y, trougaosu promjenljive (varijable). Pomoću konstanti i varijabli dobijamo sudove 2x.

Formule

Upotrebom relacijskih oznaka i sudova dobijamo formule 2<x. Za formule u kojima figurišu varijable moramo znati iz kog su skupa vrijednosti varijabli.

Npr:

x,y iz Z

za x=1 i y=-3: (n)

za x=5 i y=7: (i)

i.....istinito n....neistinito

 Predikat ili otvoreni sud

Predikat ili otvoreni sud je formula u kojoj figurišu varijable i koja postaje sud istinit ili neistinit kada u njeg uvrstimo vrijednosti varijable iz skupa S na kom je data ta formula.

Vrijednosti varijabli za koje predikat postaje istinit sud nazivamo skupom njenih istinitosti

 Definicija

Definicija (lat. definitus - određen, razgovetan, jasan) je određivanje jednog pojma po njegovim svojstvima Ona mora biti jasna i razgovjetna.

  1. Definicija se izriče najbližim srodnim pojmom i pojedinačnim razlikama (prema drugim pojmovima koji takođe spadaju pod isti srodni pojam);
  2. Važno je pravilo: - definicija ne smije biti odrična (ne treba određivati šta neki pojam nije nego šta jeste)

Definicija je ispravna samo onda kada ona sadrži osnovne pojmove ili pojmove koji su ranije definisani. U definiciji ne smije biti pojmova koji nisu osnovni ili nisu ranije definisani.

 Definicija matematičkog pojma

Uvođenje matamatičkog pojma možemo izvesti na različita načine:

  1. genetički - kad se ukazuje način obrazovanja datog pojma;
  2. svođenjem datog pojma na pojmove koji su već poznati .
  3. aksiomatski - kad se pojam određuje implicitno u aksiomama (na primer, Tačka, pravai ravan).

Primeri definicija matematičkog pojma:

  1. Sferom (trodimenzionalnog Euklidovog prostora) se naziva površ koja nastaje obrtanjem kruga oko njegovog prečnika (ovo je genetička definicija. pojma sfere). Ali se sfera može definisati pomoću pojma geometrijskog mesta tačaka u prostoru ili analitički.
  2. Logaritam broja b > 0 za osnovu se može definisati kao rešenje eksponencijalne funkcije , što se piše: , a može se definisati i kao neko neprekidno rešenje funkcionalne jednačine

 Logički sudovi

Matematika svoje rezultate formuliše u logičke sudove (stavove) Pri izvođenju stavova moramo poći od početnih stavova. Ove stavove nazivamo aksiomi. Sudovi(iskazi) kojima se tačno i sažeto iskazuju rezultati proučavanja u jednoj matematičkoj nauci nazivaju se stavovi. U nekoj matematičkoj teoriji broj im je mali. Pri izboru aksioma bitno je i poželjno da su saglasni našem iskustvu.i da iskazuju jednostavnije činjenice. Dijele se na aksiome i teoreme. Aksiomi su iskazi ćiju istinitost ne dokazujemo, već ih smatramo istinitim. Teoreme su izkazi čiju istinitost dokazujemo

 Operacije sa sudovima

 Negacija suda

Negacija sadrži samo jedan iskaz, ispred kojega stoji znak negacije:¬ . Označavamo je sa¬P, Primjer:

P:Duži a i b su jednake

negacija ovog suda je¬P:

Duži a i b nisu jednake

 Konjukcija sudova

Konjukcija sudova sud koji dobijemo kada povežemo dva suda veznikom i(oznaka&).

 Disjunkcija sudova

Disjunkcija sudova sud koji dobijemo kada povežemo dva suda veznikom ili(v). Označava se sa P v Q.

 Implikacija sudova

Sud koji dobijemo kada dva suda spojimo znakom "" (slijedi) naziva se implikacija. Označava se sa P Q.

(duž a paralelna sa duži b) i (duž b paralelna sa duži c) ""duž a paralelna sa duži c

 Konverzija implikacije

Ako u jednoj implikaciji zamjenimo mjesta predpostavke i zaključka,dobićemo novu implikaciju za koju kažemo da je konverzija (obrt) prve implikacije.

 Ekvivalencija

Ako su tačne implikacije P Q i Q P dobija mo novi sud P Q koji nazivamo

 

06.04.2007.

Dobrodošlica

Dobro došli na ovaj blog.

 

Ovdje će se naći raznih tema iz društvenih i preirodnih nauka. Za sada samo toliko


Noviji postovi |

Mauritanija
<< 02/2009 >>
nedponutosricetpetsub
01020304050607
08091011121314
15161718192021
22232425262728